在数学分析中，我们已经学过了$\mathbb{R}^{n}$上区域上函数的连续性、微分和积分。这些理论的基础就是实数理论，尤其是在$\mathbb{R}^{n}$上的紧性。我们知道，在$\mathbb{R}^{n}$中的紧集等价于有界闭集，这是一个非常方便的性质。对于一个函数$f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{m},\ \Omega\subset\mathbb{R}^{n}$，在$\Omega$中的元素$x$是一个有限维向量。
在泛函分析中，我们将研究一个泛函$F_{1}$:函数空间$\rightarrow$函数空间，$F_{2}$: $\mathbb{R}^{n}$上曲线空间$\rightarrow$$\mathbb{R}^{n}$上曲线空间，$F_{3}$:流形度量空间$\rightarrow$流形度量空间……的连续性、积分和微分。简而言之，就是要类比数学分析，研究Banach空间（或是Hilbert空间）到Banach空间的泛函，或是Banach流形到流形的泛函的性质。因此，我们的基础同样也是紧性，当然还需要辅以Banach空间的一些代数性质。以下的例子可以帮助我们理解有限维空间和无穷维空间问题的异同：
分别考虑偏微分方程$ \begin{cases} -\Delta u = f \\ u|_{\partial B_1^n(0)} = 0 \end{cases} $, $x\in B_{1}^{n}(0)$的求解和$Ax = y$, $x\in\mathbb{R}^{n}$, $y\in\R{n}$, $A$对称正定的求解。我们有分析和代数两种方法来解决这两个问题。
先看分析方法。我们知道：$Ax = y \so \forall z\in\R{n},\ z^{\mathsf{T}}Ax = z^{\mathsf{T}}y$. 定义$\varphi(x) = \frac{1}{2}x^{\mathsf{T}}Ax - x^{\mathsf{T}}y$, 若$x_{0}$是最小值, 则有$\forall t,\ z,\ \varphi(x_{0} + tz)\geq\varphi(x_{0}) \so \frac{\partial\varphi(x_{0} + tz)}{\partial t} = 0$. 令$\lambda_{0} = \inf\limits_{x\in\R{n}}\varphi(x) > -\infty,\ \lim\limits_{x\to\infty}\varphi(x) = +\infty$, 则$\exists x_{k}\in\R{n}\ s.t.\ \varphi(x_{k})\rightarrow \lambda_{0}$. 由$\varphi(x)$的性质，有$|x_{k}| < C \so \exists x_{k_{i}},\ x_{0}\ s.t.\ x_{k_{i}}\rightarrow x_{0}\so \varphi(x_{0}) = \lambda$. 这样我们就找出了这个方程的解。需要注意的是，上述找到子列收敛的过程用到了$\R{n}$的紧性。
回到偏微分方程的问题中，类似地，我们可以令$I(u) = \frac{1}{2}\int_{B_{1}^{n}(0)}|\nabla u|^{2} - \int_{B_{1}^{n}(0)}fu$, 并期待若$\exists u_{0}\ s.t.\ I(u_{0}) = \min I \so u_{0}$是解。 但是取$u_{k}\ s.t.\ I(u_{k})\rightarrow \inf I = \lambda$, $u_{k}$有界是否能推出存在子列收敛？这往往是不行的。我们将会证明，在自反空间中，可以得到$u_{k}$存在子列弱收敛，而这个结论外加$u$的一些限制就足以让我们得到方程的解了。这一步的缺失是无穷维空间和有限维空间关键的不同点。
再看代数方法。由对称正定矩阵的性质，我们可以取出标准正交基$e_{1}, ... , e_{n}\ s.t.\ Ae_{i} = \lambda e_{i}$. 令$x = \sum_{i = 1}^{n}\mu_{i}e_{i},\ y = \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i}$，则有$$\sum_{i = 1}^{n}\mu_{i}Ae_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} \so \sum_{i = 1}^{n}\lambda_{i}\mu_{i}e_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} \so \mu_{i} = \frac{a_{i}}{\lambda_{i}}$$ 因此$x = \sum_{i = 1}^{n}\frac{a_{i}}{\lambda_{i}}e_{i}$是解。
对于偏微分方程的问题，我们也可以做类似的形式上的操作。取基$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}\ s.t.\ -\Delta e_{i} = \lambda_{i}e_{i}$. 令$u = \sum_{i=1}^{\infty}\mu_{i}e_{i},\ f = \sum_{i=1}^{\infty}a_{i}e_{i} \so u = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_{i}}{\lambda_{i}}e_{i}$是解。问题在于，这样的$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$是否存在？$u$是否可以表达为$\sum_{i=1}^{\infty}\mu_{i}e_{i}$的形式？$\Delta u$是否等于$\sum_{i=1}^{\infty}\mu_{i}\Delta e_{i}$？这些原本在有限维空间平凡的问题，在无穷维空间中需要仔细地考虑。实际上，这将是我们在谱分解理论着重研究的问题。
有限维空间和无穷维空间的异同可以总结为如下几点（设$V$是有限维空间）：
-
$V$是有限维内积空间；无限维空间可以无内积。Eg. $C^{0}(\Omega) = {u: u\in C\left(\bar{\Omega}\right)}$.
-
$V$上有界闭集是紧集；无穷维空间单位球非紧。我们将会证明，自反空间中的有界集弱列紧。
-
$V$上的线性函数一定连续；无穷维空间上的线性函数（算子）不一定连续。
-
$V$的自空间一定是闭的；无穷维空间的自空间不一定闭
-
$\left(V^{* }\right)^{*} = V$；无穷维空间中只有自反空间满足这个性质。
-
设$f:\ V\rightarrow V,\ \dim V = \dim \mathrm{Ker}f + \dim \mathrm{Im}f$；无穷维空间无法定义其维数。但我们将会证明：设$X$是Banach空间，$L$是其闭子空间，当$\mathrm{codim}L<\infty$时，$\exists$闭子空间$G\ s.t.\ \dim G = \mathrm{codim}L,\ X = G\oplus L$; 当$\dim L<\infty$时，$\exists$闭子空间$E\ s.t.\ X = L\oplus E$.
-
在$V$上$\mathrm{Ker}f = 0 \Leftrightarrow$满射$\Leftrightarrow$同构；无穷维空间中满射通常无法推出同构。
-
设$V_{1}$是$V$的子空间$\Rightarrow f\in V_{1}^{* }$可以延拓为$V^{*}$中元素；在Banach空间上，这是著名的Hahn-Banach定理。
可以看到，很多在有限维空间上显而易见的性质，在无穷维空间上则不一定正确，或是很不平凡。但我们依旧可以以有限维空间的性质为参照，发展无穷维空间上的理论。这就是泛函分析的基本脉络。
本专栏的参考书主要是张恭庆先生的《泛函分析讲义》和Peter D. Lax的$\textit{Functional Analysis}$。