对于一个光滑函数，我们总可以定义其导数。但是我们同时也知道，一列光滑函数的极限函数不总是可微的，如何定义这些函数的导数？我们需要弱导数的概念，并以此重新划出一个空间。这个空间实际上就是光滑函数的完备化。

在这一节，我们总是令$\Omega$是$\mathbb{R}^{n}$中的一个区域。 同时沿用实分析的定义，若$E\subset\mathbb{R}^{n}$可测，$f,\ g$可测，称$f\sim g$, 若$f = g\ a.e.$, 并用$f$代替$f/_ {\sim}$, 则$L^{p}(E) = \left\{f: \int_ {E} |f|^{p} < \infty \right\}$, 其中$f$可测。对$p\in(1,+\infty)$定义$\Vert f\Vert_{L^{p}(E)} = \left(\int_{E}|f|^{p} \right)^{\frac{1}{p}}$; 对$p = +\infty$定义 $\Vert f\Vert_{L^{\infty}(E)} = \inf\limits_{Z\subset E,\ \mu(Z) = 0}\sup\limits_{x\in E\setminus Z}|f(x)|$, 其中$Z$是可测集，$\mu$表示测度。

现在我们就可以尝试给出弱导数的定义，以及如何从这个定义出发，认识Sobolev空间。

我们先从一个例子看如何定义$f\in L_{loc}^{1}(\Omega)$的导数。

Example 1
设$f\in C^{1}(\Omega)$, 令$\varphi\in\mathcal{D}(\Omega) = \{u\in C^{\infty}(\Omega):supp\ u\subset\subset\Omega\}$ , 则根据分部积分公式： $$ \int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\varphi = -\int_{\Omega}f\frac{\partial\varphi}{\partial x^{i}} $$ 则$\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\varphi$就由$\varphi$唯一确定。因此由实分析的基本结论，若此时$\exists g\ s.t.\ \int_{\Omega}g\varphi = -\int_{\Omega}f\frac{\partial\varphi}{\partial x^{i}},\ \forall\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$，那么$g = \frac{\partial f}{\partial x^{i}}$.

此时我们就可以利用积分给出弱导数的定义：

Definition 1
令$f,\ g\in L^{1}_{loc}(\Omega)$, 称$g$是$f$关于$x^{i}$方向的弱导数，若：$\int_{\Omega}g\varphi = -\int_{\Omega}f\frac{\partial\varphi}{\partial x^{i}},\ \forall\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$. 一般我们将$g$记作$\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$, 并有记号$\nabla f = \mathrm{D}f = \left(\frac{\partial f}{\partial x^{1}},\frac{\partial f}{\partial x^{2}}, ... , \frac{\partial f}{\partial x^{n}}\right)$.

有了弱导数，就可以定义一类Sobolev空间：

Definition 2
令$W^{1} = \{f\in L^{1}_{loc}(\Omega): f$有$L_{loc}^{1}$弱导数$\}$. 这个空间称作$W^{1}$空间，其中$f$就称作$W^{1}$空间内的Sobolev函数。
Remark

我们有如下一些比较容易看出来的事实：

  • 若$f\in W^{1}(\Omega),\ \varphi\in C^{1}(\Omega)$, 则$f\varphi \in W^{1}(\Omega)$且$\mathrm{D}f\varphi = (\mathrm{D}f)\varphi+f\mathrm{D}\varphi$.
  • 若$f_{k}\in W^{1}(\Omega),\ \exists g_{i}\ s.t.\ \sum_{i=1}^{n}\Vert\frac{\partial f_{k}}{\partial x^{i}}-g_{i}\Vert_{L^{1}(\Omega ')}+\Vert f_{k}-f\Vert_{L^{1}(\Omega ')}\to 0,\ \forall\Omega '\subset\subset\Omega$, 则$f\in W^{1}(\Omega)$.

如果对原函数和弱导数加上范数的限制，就有可以得到一个新的空间：

Definition 3

记$W^{1,p} = \left\{f\in W^{1,p}(\Omega): \left(\displaystyle{\int_{\Omega}|f|^{p} + \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} <+\infty \right\}$.

其中定义$W^{1,p}$模$\|f\|_{W^{1,p}}=\left(\displaystyle{\int_{\Omega}|f|^{p} + \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}$.

类似的，我们还可以定义更高阶的Sobolev空间。以下我们令$\alpha = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, … , \alpha_{n}),\ \alpha_{i}\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\},\ |\alpha| = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}$.

Definition 4

称$f\in W^{k}(\Omega)$, 若对$f\in L_{loc}^{1}(\Omega),\ \forall |\alpha|\leq k,\ \exists g\in L_{loc}^{1}(\Omega)\ s.t.\ \int_{\Omega}g\varphi = (-1)^{|\alpha|}\displaystyle{\int_{\Omega}f\frac{\partial^{|\alpha|}\varphi}{\partial x_{i}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}},\ \forall\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$.

记$W^{k,p}(\Omega) = \left\{f\in W^{k,p}(\Omega): \left(\displaystyle{\int_{\Omega}|f|^{p} + \sum_{|\alpha|=1}^{k}\left|\frac{\partial^{|\alpha|}\varphi}{\partial x_{i}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}} <+\infty \right\}$.

其中定义$W^{k,p}$模$\|f\|_{W^{k,p}}=\left(\displaystyle{\int_{\Omega}|f|^{p} + \sum_{|\alpha|=1}^{k}\left|\frac{\partial^{|\alpha|}\varphi}{\partial x_{i}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right|^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}$.

Remark
  • 显然上面所有的Sobolev空间都是线性空间。
  • 通过Minkowski不等式易得$\|f+g\|_{W^{k,p}}\leq\|f\|_{W^{k,p}}+\|g\|_{W^{k,p}}$.
  • 易证$\|\lambda f\|_{W^{k,p}} = |\lambda|\|f\|_{W^{k,p}}$.

接下来的例子有助于帮助我们理解弱导数的定义，以及它和经典导数的关系。

Example 2
设$f\in C^{0}(\mathbb{R}^{2}),\ f\in C^{1}(\mathbb{R}^{2+})\cap C^{1}(\mathbb{R}^{2-})\Rightarrow f\in W^{1}(\mathbb{R}^{2})$.
Proof.
取$\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{2})$, 有： $$ \int_{\mathbb{R}^{2}}\frac{\partial f}{\partial x}\varphi = \int_{\mathbb{R}^{2+}}\frac{\partial f}{\partial x}\varphi + \int_{\mathbb{R}^{2-}}\frac{\partial f}{\partial x}\varphi = -\int_{\mathbb{R}^{2+}}f\frac{\partial\varphi}{\partial x} - \int_{\mathbb{R}^{2-}}f\frac{\partial\varphi}{\partial x} $$ 因此有： $$ \int_{\mathbb{R}^{2}}f\frac{\partial f}{\partial x} = -\int_{\mathbb{R}^{2}}\frac{\partial f}{\partial x}\varphi $$ 对于$y$方向上的导数，因为区域从中间分隔开，因此我们必须注意分部积分的结果： $$ \int_{\mathbb{R}^{2}}f\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \int_{\mathbb{R}^{2+}}f\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\int_{\{y>0\}}\frac{\partial f}{\partial y}\varphi - \int_{\{y=0\}}f\cdot\varphi - \int_{\{y<0\}}\frac{\partial f}{\partial y}\varphi + \int_{\{y=0\}}f\cdot \varphi $$ 因此有： $$ \int_{\mathbb{R}^{2}}f\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\int_{\mathbb{R}^{2}\setminus\{y=0\}}\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\varphi = -\int_{\mathbb{R}^{2}}\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\varphi $$ 从而$f$在$x,\ y$两个方向上都有一阶弱导数，因此$f\in W^{1}(\mathbb{R}^{2})$.

回到序章的例子。有了弱导数之后，我们可以定义偏微分方程各种类型的解。

Example 3
考虑偏微分方程$(*) \left\{ \begin{aligned} & -\Delta u = f \\ & u|_{\partial B_{1}^{n}(0)} = 0 \\ \end{aligned} \right. $, 称：
  • $u\in C^{2}(\Omega),\ f\in C^{0}$, 满足$(*)$, 则$u$是经典解。
  • $u\in W^{2,p}(\Omega),\ f\in L^{p}$, 满足$(*)$, 则$u$是强解。
  • $u\in W^{1,2}(\Omega),\ f\in L^{2}$, 满足$\int_{\Omega}\nabla u\nabla \varphi = \int_{\Omega}f\varphi,\ \forall\varphi\in\mathcal{D}(\Omega)$, 则$u$是弱解。

这些空间的性质不仅可以拓宽解的范围，还提供了更多的泛函分析手段来处理以上的微分方程。在之后我们将逐渐了解$C^{2}(\Omega)$不是自反空间，因此无（弱）紧性；而$W^{2,p}(\Omega)$是自反空间，有弱紧性；在$W^{1,2}(\Omega)$空间上可以定义内积将其化作可分的Hilbert空间。