我们将阐明Sobolev空间的本质是光滑函数某种意义上的完备化。

令$\omega$是磨光核，i.e. $\omega\geq 0,\ \int_{\mathbb{R}^{n}}\omega = 1,\ \omega\in\mathcal{D}\left(B_{1}^{n}(0)\right)$. 令$\omega_{\varepsilon} = \frac{\omega(x/\varepsilon)}{\varepsilon^{n}}\Rightarrow \omega_{\varepsilon}\in\mathcal{D}\left(B_{\varepsilon}^{n}(0)\right),\ \omega_{\varepsilon}\geq 0,\ \int_{\mathbb{R}^{n}}\omega_{\varepsilon} = 1$. 通过磨光核，可以对$f\in L_{loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$定义卷积$f_{\varepsilon} = f * \omega_{\varepsilon} = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)\omega_{\varepsilon}(y)\mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\omega_{\varepsilon}(x-y)\mathrm{d}y$. 则由实分析的基本结论，有：

  • $f_{\varepsilon}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, 若$supp f$有界，则$f_{\varepsilon}\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$.
  • $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})\Rightarrow |f_{\varepsilon}-f|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ \varepsilon\to 0$.

现在令$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$, 我们有如下的推理： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}(x)}{\partial x^{i}} = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial \omega_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x-y)\mathrm{d}y = -\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}(x-y)\mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)\omega_{\varepsilon}(x-y)\mathrm{d}y $$

以上最后一个等号用到了弱导数的性质。于是我们得到结论： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}(x)}{\partial x^{i}} = \left(\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\right) * \omega_{\varepsilon} \Rightarrow \left|\frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}} - \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \right|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})} \to 0,\ \varepsilon\to 0. $$

利用$C_ {p}$不等式 ，我们可以将以上的推理写成如下引理：

Lemma 1
设$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$, 则$\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\|f_{\varepsilon}-f\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})} = 0$.

利用弱导数的定义和Hölder不等式（用于证明积分收敛），可以得到如下推论：

Corollary
$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$, 当且仅当$\exists f_{k}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\cap W^{1,p}(\mathbb{R}^{n}),\ g_{i}\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \|f_{k}-f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ \sum_{i=1}^{n}\|\frac{\partial f_{k}}{\partial x^{i}} - g_{i}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ k\to +\infty$.

我们现在想要弱化以上推论的条件，证明$W^{1,p}$中的元素可以被紧支光滑函数逼近。其中用到了截断函数(cut-off function)的重要技巧。

令$\eta\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \eta = \begin{cases} 1,\ &|x|<1 \\ \in(0,1),\ &\text{otherwise} \\ 0,\ &|x|>2 \end{cases}$. 由实分析的结论，我们知道这样的$\eta$一定存在。现令$\eta_ {m} = \eta\left(\frac{x}{m}\right)$, 则利用控制收敛定理可知，$\eta_{m}f_{k}\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}),\ |\eta_{m}f_{k}-f_{k}|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ m\to +\infty$.

现在我们考察它们的导数是否可以逼近： $$ |\nabla\eta_{m}f_{k}-\nabla f_{k}| = |(\nabla\eta_{m})f_{k}+(\eta_{m}-1)\nabla f_{k}| \leq |\nabla\eta_{m}||f_{k}|+|\eta_{m}-1||\nabla f_{k}| \leq \frac{c}{m}|f_{k}| + |\eta_{m}-1||\nabla f_{k}| $$ 其中$c$是一个与$\eta$有关的常数。由控制收敛定理，有： $$ \lim\limits_{m\to+\infty}|\nabla\eta_{m}f_{k} - \nabla f_{k}|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})} = 0 $$

结合对原函数的逼近和对导数的逼近，此时对$\forall k$, 取$m_ {k}\ s.t.\ |\eta_{m_{k}}f_{k}-f_{k}|_ {W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}<\frac{1}{k}$, 令$\varphi_{k} = \eta_{m_ {k}}f_ {k}\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$，则有$|\varphi_{k}-f_{k}|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ k\to+\infty$.

由以上$f_{k}$和$\varphi_{k}$的构造，我们可以很容易地得到以下的定理：

Theorem 1
$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})\iff \exists\varphi_{k}\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$且$\|\varphi_{k}-f\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ k\to+\infty$.

但是当我们想要将$\mathbb{R}^{n}$的情况推广到任意的$\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$时，会很明显的遇到问题。假设类似上面的操作，为了做卷积，我们先将$f$进行零延拓：$f|_ {\Omega^{\mathrm{c}}} = 0,\ f_ {\varepsilon} = f * \omega_ {\varepsilon} = \int_ {\mathbb{R}^{n}}f(y)\omega_{\varepsilon}(x-y)\mathrm{d}y$. 类似地，我们有： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x) = -\int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x-y)\mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}(x-y)\mathrm{d}y $$ 我们想在这一步开始做分部积分。但此时我们注意到$\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}(x-y)$并不一定在$\mathcal{D}(\Omega)$中！

从上图中可以看出来，正因为$supp\ \frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}(x-y)\subset B_{\varepsilon}(x)$, 因此当$x$很靠近$\Omega$的边界时，这个函数就不再属于$\mathcal{D}(\Omega)$了。这就提示我们，在处理$\Omega$的情况时，要注意边界的问题，在$\Omega’\subset\subset\Omega$时才能把磨光核的支集控制在$\Omega$中。

我们将上面的想法严格地写成定理和证明：

Theorem 2
令$f\in W^{1,p}(\Omega)$, 则$\exists\varphi_{k}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ $对$\forall \Omega'\subset\subset\Omega$, 有$\|\varphi_{k}-f\|_{W^{1,p}(\Omega')}\to 0,\ k\to+\infty$.
Proof.
取核$\omega$, 令$f|_{\Omega^{\mathrm{c}}} = 0,\ f_{\varepsilon} = f * \omega_{\varepsilon} = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\omega_{\varepsilon}(x-y)\mathrm{d}y$. 于是有： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x) = \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x-y)\mathrm{d}y =- \int_{\mathbb{R}^{n}}f(y)\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}(x-y)\mathrm{d}y $$ 令$x\in\Omega',\ \varepsilon<\mathrm{d}(\Omega', \partial\Omega)\Rightarrow \frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial y^{i}}\in\mathcal{D}(\Omega)$.于是有： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x) = \int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)\omega_{\varepsilon}(x-y)\mathrm{d}y $$ 现在令$F_{i} = \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y),&y\in\Omega \\ & 0,& y\notin\Omega \\ \end{aligned} \right.$, 于是有： $$ \frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}(x) = F_{i} * \omega_{\varepsilon},\ \forall x\in\Omega',\ F_{i} * \omega_{\varepsilon}\stackrel{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}{\longrightarrow}F_{i},\ \varepsilon\to 0. $$ 因此就可以得到： $$ \left\|\frac{\partial f_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\right\|_{L^{p}(\Omega')} = \|F_{i} * \omega_{\varepsilon}-F_{i}\|_{L^{p}(\Omega')} \leq \|F_{i} * \omega_{\varepsilon}-F_{i}\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ \varepsilon\to 0 $$ 剩下的证明内容由$f_{\varepsilon}$的构造和光滑逼近是显然的。

通过上面的定理我们了解到，$W^{1,p}(\Omega)$中的任意元素都能够被$C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$中的函数逼近，但不都能够被$\mathcal{D}(\Omega)$中的函数逼近。于是，将那些能够被$\mathcal{D}(\Omega)$中的函数逼近的元素就值得单独划出一个门类来。这再一次体现了”完备化“的思想！

Definition 1
称$f\in W^{k,p}_{0}(\Omega)$, 若$\exists\varphi_{k}\in\mathcal{D}(\Omega)\ s.t.\ \|\varphi_{k} - f\|_{W^{k,p}(\Omega)}\to0,\ k\to+\infty$.
Example 1
由上面$\mathbb{R}^{n}$的情况可知，$W_{0}^{1,p}(\mathbb{R}^{n}) = W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$.
Example 2
由上面的证明过程容易推得：若$f\in W^{1,p}(\Omega)$且$supp\ f\subset\subset\Omega\Rightarrow f\in W^{1,p}_{0}(\Omega)$.
Example 3
以下的结论通过两次逼近也是显然的：设$f_{k}\in W^{1,p}_{0}(\Omega),\ f\in W^{1,p}(\Omega)$且$\|f_{k}-f\|_{W^{1,p}(\Omega)}\to 0,\ k\to+\infty$, 则$f\in W_{0}^{1,p}(\Omega)$. 虽然简单，但这是一个重要的结论。它告诉我们$W_{0}^{k,p}$是$W^{k,p}$的闭子空间。

下面的两个例子可以将分部积分的条件从$\mathcal{D}(\Omega)$放松到Sobolev空间上。

Example 4
设$f\in W^{1,p}(\Omega),\ g\in W_{0}^{1,p'}(\Omega),\ p>1,\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$. 则$\int_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x^{i}} = -\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}g$.
Proof.
取$\varphi_{k}\in\mathcal{D}(\Omega)\ s.t.\ \|\varphi_{k}-g\|_{W^{1,p'}(\Omega)}\to 0,\ k\to+\infty$.由Sobolev函数的性质，我们有： $$ \int_{\Omega}f\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}} = -\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\varphi_{k} $$ 由$W^{1,p'}$模与$L^{p'}$模在原函数和弱导数上的关系，利用Hölder不等式证明两边可以取到极限: $$ \int_{\Omega}f\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}}\to\int_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x^{i}},\ \int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\varphi_{k}\to\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}g,\ k\to+\infty $$ 即可得到结论。
Example 5
令$f\in W^{1,1}(\Omega)$, 设$g\in W^{1}(\Omega)$满足：
  • $supp\ g\subset\subset\Omega$
  • $|g| + |Dg|< C $, 其中$C$是一个常数
则$\int_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x^{i}} = -\int_{\Omega}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}g$.
Proof.
由Example2易证$g\in W_{0}^{1,p}(\Omega),\ \forall p$. 现取$\varphi_{k}\in C(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \|\varphi_{k}-f\|_{W^{1,1}(\Omega)}\to 0,\ k\to+\infty,\ \forall\Omega'\subset\subset\Omega$. 于是有： $$ \int_{\Omega}g\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}} = -\int_{\Omega}\frac{\partial g}{\partial x^{i}}\varphi_{k} $$ 通过控制收敛，我们证明两边可以取到极限： $$ \int_{\Omega}g\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}}\to\int_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial x^{i}},\ \int_{\Omega}\frac{\partial g}{\partial x^{i}}\varphi_{k}\to\int_{\Omega}\frac{\partial g}{\partial x^{i}}f,\ k\to+\infty $$ 即可得到结论。

接下来的例子将会展示一个重要且常用的结果：Laplace算子的解的导数可以被原函数和解控制。

Example 6
我们先将弱解的定义从$\mathcal{D}(\Omega)$延拓到Sobolev空间上。现设$u\in W^{1,2}(\Omega),\ f\in L^{2},\ u$是$\Delta u = f$的弱解，i.e., $\forall \varphi\in\mathcal{D}(\Omega),\ \int_{\Omega}\nabla u\nabla \varphi = \int_{\Omega}f\varphi$. 因此对于$\forall v\in W_{0}^{1,2}(\Omega)$, 取$\varphi_{k}\in\mathcal{D}(\Omega)\ s.t.\ \int_{\Omega}|\nabla\varphi_{k}-\nabla v|^{2}\to 0,\ \int_{\Omega}|\varphi_{k}- v|^{2}\to 0,\ k\to+\infty$. 因此由Hölder不等式两边取极限易证：$\int_{\Omega}\nabla u\nabla v = \int_{\Omega}fv,\ \forall v\in W^{1,2}_{0}(\Omega)$. 现令$v = \eta^{2}u$, 其中$\eta\in\mathcal{D}(\Omega)$且$\eta|_{\Omega'} = 1,\ \Omega'\subset\subset\Omega$. 由Example2，$v\in W_{0}^{1,2}(\Omega)$. 于是由弱解的延拓定义，我们有： $$ \int_{\Omega}\nabla u\nabla \eta^{2}u = \int_{\Omega}\eta^{2}uf $$ 展开并化简： $$ \int_{\Omega}\nabla u(\eta^{2}\nabla u+2\eta u\nabla \eta) = \int_{\Omega}\eta^{2}|\nabla u|^{2} + \int_{\Omega}2\nabla u (\nabla\eta)\eta u = \int_{\Omega}\eta^{2}uf $$ 因此就由基本不等式得到: $$ \int_{\Omega}\eta^{2}|\nabla u|^{2} = \int_{\Omega}\eta^{2}uf - \int_{\Omega}2(\eta\nabla u)(u\nabla\eta)\leq C\left(\int_{\Omega}\eta^{2}f^{2}+\int_{\Omega}\eta^{2}u^{2}\right)+\varepsilon\int_{\Omega}\eta^{2}|\nabla u|^{2}+\frac{4}{\varepsilon}\int_{\Omega}|\nabla\eta|^{2}u^{2} $$ 任取一个$\varepsilon<1$, 并且利用$\eta$紧支光滑函数及其导数的有界性，就可以得到： $$ \int_{\Omega'}|\nabla u|^{2}\leq\int_{\Omega}\eta^{2}|\nabla u|^{2}\leq C\int_{\Omega}(f^{2}+u^{2}) $$ 其中$C$是一个与$u$无关的常数。