类似经典导数的情况，我们对于弱导数也有链式法则：
Theorem 1
设$f\in C^{1}(\mathbb{R}^{n})$且$f'\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n}),\ u\in W^{1,p}(\Omega)$, 则$f(u)\in W^{1,p}_{loc}(\Omega),\ \nabla f(u)\in L^{p}(\Omega)$.
Proof.
取$\varphi_{k}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \|\varphi_{k}-u\|_{W^{1,p}(\Omega')}\to0,\ k\to+\infty,\ \forall\Omega'\subset\subset\Omega$. 因此有经典的Chain Rule: $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(\varphi_{k}) = f'(\varphi_{k})\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}}$.
先看原函数的收敛估计。由微分中值定理：
$$
\|f(\varphi_{k})-f(u)\|_{L^{p}(\Omega')}\leq\|f'\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}\|\varphi_{k}-u\|_{L^{p}(\Omega')}\to 0,\ k\to+\infty
$$
再看导函数的收敛估计：
$$
\left|f'(\varphi_{k})\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial x^{i}}-f'(u)\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right|\leq\left|f'(\varphi_{k})\left(\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right)\right| + |f'(\varphi_{k})-f'(u)|\left|\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right|
$$
因此有模估计：
$$
\left\|f'(\varphi_{k})\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial x^{i}}-f'(u)\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right\|_{L^{p}(\Omega')}\leq\|f'\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}\left\|\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial x^{i}}-\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right\|_{L^{p}(\Omega')} + \left(\int_{\Omega'}|f'(\varphi_{k})-f'(u)|^{p}\left|\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
$$
由实分析的常用技巧，因为$\varphi_{k}\stackrel{L^{p}_{loc}(\Omega)}{\longrightarrow}u$, 所以不妨设$\varphi_{k}\stackrel{a.e.}{\longrightarrow}u$, 因此还有$f'(\varphi_{k})\stackrel{a.e.}{\longrightarrow}f'(u)$. 所以利用$\|f'\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})}<+\infty$, 由控制收敛定理：
$$
\left\|f'(\varphi_{k})\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial x^{i}}-f'(u)\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right\|_{L^{p}(\Omega')}\to0,\ k\to+\infty
$$
结合以上两点，利用弱导数的定义和Hölder不等式易证积分收敛，从而得到$f(u)\in W^{1}_{loc}(\Omega)$且$\frac{\partial f(u)}{\partial x^{i}} = f'\left(\frac{\partial u}{\partial x^{i}}\right)\in L^{p}(\Omega)$, 也即$f(u)\in W^{1,p}_{loc}(\Omega)$.
有了链式法则这一工具之后，就可以研究上下截断函数的弱导数。截断函数由于其有界性，可以迂回地证明很多无法直接证明的结论。一个典型的方法是先将函数截断，再使用Levi收敛定理，有时可以避免无法判断积分是否收敛的情况。另外，由$|u| = u^{+} + u^{-}$, 还可以用来研究绝对值函数的弱导数。
以下的例子告诉我们研究截断函数弱导数的具体思路：
Example 1
令$f_{\varepsilon}(t) = \left\{
\begin{aligned}
& \sqrt{t^{2}+\varepsilon^{2}}-\varepsilon,& t>0 \\
& 0,& t\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.$, 则$f_{\varepsilon}\in C^{1}(\mathbb{R}),\ \lim\limits_{\varepsilon\to0}f_{\varepsilon} = \max\{t,0\}$. 取$u\in W^{1,p}(\Omega)$, 则$f_{\varepsilon}(u) = \left\{
\begin{aligned}
& \sqrt{u^{2}+\varepsilon^{2}}-\varepsilon,& u>0 \\
& 0,& u\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.$. 由分子有理化，在$u>0$时，$f_{\varepsilon}(u) = \frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}+\varepsilon^{2}}+\varepsilon}\leq u$. 因此$f_{\varepsilon}(u)\in L^{p}(\Omega)$. 由Theorem 1, $f_{\varepsilon}(u)\in W^{1,p}(\Omega)$. 由$f_{\varepsilon}$的构造，令$\varepsilon\to0,\ f_{\varepsilon}(u)\to\max\{u,0\} = u^{+}$.
先看原函数的收敛估计。由控制收敛定理：
$$
\int_{\Omega}|f_{\varepsilon}(u)-u^{+}|^{p} = \int_{\{u>0\}}\left|\frac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}+\varepsilon^{2}}+\varepsilon}-u^{+}\right|^{p}\to 0,\ \varepsilon\to 0
$$
再看导函数的收敛估计：
$$
\frac{\partial f_{\varepsilon}(u)}{\partial x^{i}} = f'_{\varepsilon}(u)\frac{\partial u}{\partial x^{i}} = \left\{
\begin{aligned}
& \frac{u}{\sqrt{u^{2}+\varepsilon^{2}}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x^{i}},& u>0 \\
& 0,& u\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.
$$
令$v_{i} = \left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x^{i}},& u>0 \\
& 0,& u\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.$, 于是有：
$$
\left\|\frac{\partial f_{\varepsilon}(u)}{\partial x^{i}}-v_{i}\right\|_{L^{p}(\Omega)}\to 0,\ \varepsilon\to 0
$$.
结合以上两点，利用弱导数的定义和Hölder不等式易证积分收敛，从而得到$u^{+}\in W^{1,p}(\Omega)$且$\frac{\partial u^{+}}{\partial x^{i}} = v_{i} = \left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x^{i}},& u>0 \\
& 0,& u\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.$, 即$\nabla u^{+} = \left\{
\begin{aligned}
& \nabla u,& u>0 \\
& 0,& u\leq 0 \\
\end{aligned}
\right.$.
类似地，我们也可以做出$u^{-}$的情况：只需将$u$取负按照同样的方法操作即可。现在我们将以上的内容整理成如下定理：
Theorem 2
设$u\in W^{1,p}(\Omega)$, 则：
- $u^{+},\ u^{-},\ |u|\in W^{1,p}(\Omega)$
- $\nabla u^{+} = \left\{ \begin{aligned} & \nabla u,& u>0 \\ & 0,& u\leq 0 \\ \end{aligned} \right.$
- $\nabla u^{-} = \left\{ \begin{aligned} & -\nabla u,& u<0 \\ & 0,& u\geq 0 \\ \end{aligned} \right.$
- $|\nabla u| = \left|\nabla |u|\right|$
Proof.
只需强调一部分内容即可。定义$u^{-} = \max\{-u,0\}$, 因此$|u| = u^{+} + u^{-}$. 对于第4点的右侧，有$\nabla|u| = \nabla (u^{+} + u^{-}) = \left\{
\begin{aligned}
& \nabla u,& u>0 \\
& 0,& u=0 \\
& -\nabla u,& u<0 \\
\end{aligned}
\right.$. 左侧有$\nabla u = \nabla (u^{+} - u^{-}) = \left\{
\begin{aligned}
& \nabla u,& u>0 \\
& 0,& u=0 \\
& \nabla u,& u<0 \\
\end{aligned}
\right.$. 因此二者的模相等。此处必须要注意“相等”是在几乎处处的意义上，而非点点相等。
利用这个定理证明最后的“几乎处处相等”，会得到一个非常有趣的推论，我们不加证明地以例子的形式感受其核心思想：
Example 2
设$u\in C^{\infty}(\Omega),\ u(x_{0}) = 0$. 此时会出现两种情况：
- $\nabla u(x_{0}) = 0$
- $\nabla u(x_{0}) \neq 0$
那么由$|\nabla u| = \left|\nabla |u|\right|,\ \dim\{\nabla u(x)\neq 0,\ u(x) = 0\}\leq n-1$. 对于$f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$来说，$\{x: f'(x)\neq 0,\ f(x) = 0\}$至多是可数集。这个结论体现了一部分正则值原像定理的思想。
我们可以利用如下方法构造截断函数：
Example 3
设$u\in W^{1,p}(\Omega)$, 令$u^{A} = (u-A)^{+} + A = \max\{u,A\}$是一个下截断函数。那么就有$u^{A}\in W^{1,p}(\Omega),\ \nabla u^{A} = \left\{
\begin{aligned}
& \nabla u,& u>A \\
& 0,& u\leq A \\
\end{aligned}
\right.$. 类似地，$\min\{u,A\}$也可以如是构造。
现在就可以看一个截断函数的简单运用：
Example 4
设$u\in W^{1,2}_{0}$是$-\Delta u = u^{2}$的弱解。则$u\in L^{3}(\Omega)$.
假设我们期待用$\varphi_{k}\in\mathcal{D}(\Omega)$在$W^{1,2}$中逼近$u$, 那么由弱解定义，$\int_{\Omega}\nabla u\nabla\varphi_{k} = \int_{\Omega}u^{2}\varphi_{k}$. 但此时我们无法再直接使用Hölder不等式或控制收敛定理证明右侧的积分必定收敛了，因此需要使用截断函数的方法。
Proof.
取$A>0$, 令$v_{A} = \max\{\min\{u,A\},0\}\Rightarrow v_{A}\in L^{\infty}(\Omega)\cap W^{1,2}_{0}(\Omega)$. 于是类似“泛函分析2”Example 6有：
$$
\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\geq\int_{\Omega}\nabla u\nabla v_{A} = \int_{\Omega}u^{2}v_{A}
$$
令$A\to+\infty$, 则由Levi渐升定理，$\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\geq\int_{\{u\geq0\}}u^{3}$.
类似地，再令$v'_{A} = \min\{\max\{u,-A\},0\}\Rightarrow \int_{\Omega}|\nabla u|^{2}\geq\int_{\{u\leq0\}}u^{3}$. 因此$\int_{\Omega}u^{3}<+\infty$.