弱导数是由积分定义的，而积分体现了函数的宏观性质。这就暗示着对$f\in W^{k,p}(\Omega)$做单纯的零延拓很可能无法得到同样具有弱导数的函数。但是我们总希望能够保留其具有弱导数的性质，并且希望能够控制延拓出来的函数的模。这就是延拓定理的作用。如果能将函数延拓到整个空间上，那么就可以进行很多$\mathbb{R}^{n}$上的积分变换操作，因此延拓是十分必要的。

下面的例子提供了延拓定理最核心的内容：

Example 1
对于上半平面的光滑函数，延拓十分简单明了。设$f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2+})\Rightarrow f\in W^{1}(\mathbb{R}^{2+})$. 令$F(x,y) = \left\{ \begin{aligned} & f(x,y),& y\geq0 \\ & f(x,-y),& y<0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow F\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{2}\setminus\{y=0\})\cap C(\mathbb{R}^{2})$. 由泛函分析1 Example2, 有$F\in W^{1}(\mathbb{R}^{2})$. 对于$\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{2})$, 有： \begin{align} \int_{\mathbb{R}^{2}}F(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y} &= \int_{\mathbb{R}^{2+}}F(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}F(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y} \nonumber\\ &= -\int_{\mathbb{R}^{2+}}\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\varphi - \int_{\mathbb{R}^{2-}}\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\varphi + \int_{\{y=0\}}F(x,y)\varphi - \int_{\{y=0\}}F(x,y)\varphi \nonumber\\ &= -\int_{\mathbb{R}^{2}\setminus\{y=0\}}\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\varphi = -\int_{\mathbb{R}^{2}}\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\varphi\nonumber \end{align} 但是对于一般的$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{2+})$, 我们手里唯一的工具只有定义，只能对$\varphi\in W^{1,p'}_{0}(\mathbb{R}^{2+})$做分部积分。为此，我们需要一个函数将$\varphi$“分割”成在$W^{1,p'}_{0}(\mathbb{R}^{2+})$和$W^{1,p'}_{0}(\mathbb{R}^{2-})$中的两个元素，做分部积分，然后再做一次对$\varphi$的逼近，最终得到延拓后函数的弱导数。具体实现过程如下：
延拓函数$F$的构造完全相同。现在令$\eta(x)$为如右图所示的折线函数，折点分别在$-2,\ -1,\ 1,\ 2$, 最小值为$0$, 最大值为$1$. 令$\eta_{r} = \eta(\frac{y}{r})$. 那么对于$\forall \varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{2})$, 由泛函分析2 Example4和Example5可知，$\varphi\eta_{r}$分别在$\mathbb{R}^{2+}$和$\mathbb{R}^{2-}$上分别满足Sobolev函数分部积分的要求。因此，令$I_{r} = \int_{\mathbb{R}^{2+}}F(x,y)\frac{\partial \varphi\eta_{r}}{\partial y} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}F(x,y)\frac{\partial \varphi\eta_{r}}{\partial y}$, 就有： $$ I_{r} = -\int_{\mathbb{R}^{2+}}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\varphi\eta_{r} - \int_{\mathbb{R}^{2-}}\frac{\partial f(x,-y)}{\partial y}\varphi\eta_{r} $$ 由控制收敛定理，有： $$ I_{r}\to-\int_{\mathbb{R}^{2+}}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\varphi - \int_{\mathbb{R}^{2-}}\frac{\partial f(x,-y)}{\partial y}\varphi,\ r\to0 $$ 与此同时，对$I_{r}$的直接计算可以得到： \begin{align} I_{r} &= \int_{\mathbb{R}^{2+}}f(x,y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \int_{\mathbb{R}^{2+}}f(x,y)\frac{\partial\eta_{r}}{\partial y}\varphi + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f(x,-y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f(x,-y)\frac{\partial\eta_{r}}{\partial y}\varphi \nonumber\\ &= \int_{\mathbb{R}^{2+}}f(x,y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f(x,-y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \frac{1}{r}\int_{r}^{2r}\int_{-R}^{R}f(x,y)\varphi(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y - \frac{1}{r}\int_{r}^{2r}\int_{-R}^{R}f(x,y)\varphi(x,-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \nonumber \end{align} 其中设$supp\ \varphi\subset[-R,R]^{2}$. 因此有： $$ I_{r} = \int_{\mathbb{R}^{2+}}f(x,y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f(x,-y)\frac{\partial\varphi}{\partial y}\eta_{r} + \int_{r}^{2r}\int_{-R}^{R}f(x,y)\frac{\varphi(x,y)-\varphi(x,-y)}{r}\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 因为由微分中值定理，$\left|\frac{\varphi(x,y)-\varphi(x,-y)}{r}\right|\leq C\left\|\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right\|_{L^{\infty}}$, 其中$C$是一个常数，因此： $$ \int_{r}^{2r}\int_{-R}^{R}f(x,y)\frac{\varphi(x,y)-\varphi(x,-y)}{r}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\to0,\ r\to0 $$ 所以再由控制收敛定理有： $$ I_{r}\to \int_{\mathbb{R}^{2+}}f(x,y)\frac{\partial\varphi}{\partial y} + \int_{\mathbb{R}^{2-}}f(x,-y)\frac{\partial\varphi}{\partial y},\ r\to0 $$

因此显然可以得到$F\in W^{1}(\mathbb{R}^{2}),\ F|_{\mathbb{R}^{2+}} = f$. 由$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{2+})$, 可以得到$F\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{2})$, 且$\|F\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{2})} \leq 2\|f\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{2+})}$.

至此我们就将上半平面的函数延拓到了整个平面，实现了我们保持弱导数和控制模范数的目标。

Remark
在以上的讨论中，注意到$\eta$对$x$的导数是$0$, 因此在讨论$x$方向上的弱导数时自动消除了对$\eta$求导的过程。利用这个性质，显然可以将以上的讨论拓展到$\mathbb{R}^{n+} = {(x^{1}, x^{2},…, x^{n})\in\mathbb{R}^{n}: x^{n}\geq0}$的情况。

通过以上的例子，我们将利用单位分解定理证明：在$\mathbb{R}^{n}$上的有界且边界光滑的区域$\Omega$上的Sobolev函数可以被延拓到整片$\mathbb{R}^{n}$上。所谓边界光滑，就是$\exists\delta_ {0}\ s.t.$ 对$\forall P\in\partial\Omega,\ r<\delta_{0},\ \exists\varphi_{P}:\ \bar\Omega \cap B_ {r}(P)\longrightarrow{(x^{1},x^{2},…,x^{n})\in B^{n}_ {1}:x^{n}\geq 0} = \hat{B_ {1}}$是微分同胚。用这个微分同胚就可以将$\Omega$边界上的延拓转化成上半球的延拓，再将延拓后的函数用$\varphi_{P}^{-1}$拉回去。这是微分几何的典型操作：

先假设$f\in W^{1,p}(\Omega),\ supp f\subset B_{r}(P)\cap\bar{\Omega}\Rightarrow f\left(\varphi_{P}^{-1}(x)\right)\in W^{1,p}(\hat{B_{1}})$. 则$f\left(\varphi_{P}^{-1}(x)\right)$可以延拓为$G(x)\in W^{1,p}(B^{n}_ {1})$, 再令$F(x) = G\left(\varphi_{P}(x)\right)$, 则$F(x)$是$f(x)$的延拓，且$F$的模被$f$控制住。

这时我们就可以使用单位分解，将在$\Omega$上的函数进行延拓：

由$\bar{\Omega}$是紧集，设其被半径$< \delta_{0}$的开球$U_{i}$有限覆盖，则存在一组非负函数$\rho_{i}\in C_{C}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$满足$\mathrm{supp} \rho_{i}\subset U_{i},\ \sum_{i=1}^{n}\rho_{i}\leq1,\ \sum_{i=1}^{n}\rho_{i}(x)=1,\ \forall x\in\Omega$. 那么此时对于$f\in W^{1,p}(\Omega),\ f = \sum_{i=1}^{n}\rho_{i}f$. 这样就得到两种情况。对于$\mathrm{supp}\rho_{i}f\subset\Omega$, 即处在$\Omega$内部的部分，只需令$F_{i} = \rho_{i}f$; 对于$\exists P\ s.t.\ \rho_{i}f\in W^{1,p}\left(B_{r}(P)\cap\Omega\right),\ \mathrm{supp}\rho_{i}f\subset B_{r}(P)$, 即处在$\Omega$边界上的部分，就按照上述方法延拓为$F_{i}$.

此时令$F = \sum_{i=1}^{n}F_{i}$, 就有$\exists\Omega’\supset\supset\Omega,\ F\in W^{1,p}(\Omega’),\ F|_ {\Omega} = f$, 且$|F|_ {W^{1,p}(\Omega’)}\leq C|f|_{W^{1,p}(\Omega)}$. 至此我们已经几乎达到目标。要想将其延拓到整个$\R{n}$上，就只需要将最外面的部分逐渐消减到$0$, 通过光滑逼近易证，这时再进行零延拓后的函数依旧是Sobolev函数：

取$\Omega\subset\subset\Omega’’\subset\subset\Omega’$, 取$\eta\ s.t.\ \eta\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}),\ \eta|_ {\Omega} = 1,\ \eta|_ {(\Omega’’)^{C}} = 0,\ \eta\in[0,1]$，则$\mathrm{supp}\eta F\subset\subset\Omega’,\ |\eta F|_ {L^{p}(\Omega’)}\leq|F|_ {L^{p}(\Omega’)}$. 由$|\nabla\eta F|\leq|\nabla\eta||F|+\eta|F|$, 就有$|\nabla\eta F|_ {L^{p}(\Omega’)}\leq C\left(|F|_ {L^{p}(\Omega’)}+|\nabla F|_ {L^{p}(\Omega’)}\right)$. 因此$\eta F\in W^{1,p}_{0}(\Omega’)$且模被$f$控制。这样我们就彻底完成了任务。虽然整个过程并未写成一个严谨的证明，但具体的细节和核心思想已经完全阐述清楚，我们将其写成一个具体的定理：

Theorem 1
设$\Omega$是一个光滑有界区域，$f\in W^{1,p}(\Omega)$, 设$\Omega\subset\subset B_{R}(0)$, 则$\exists$线性算子$P:W^{1,p}(\Omega)\longrightarrow W_{0}^{1,p}(B_{R})\ s.t.\ P(f)|_{\Omega} = f$, 且$\|P(f)\|_{W^{1,p}(B_{R}(0))}\leq C\|f\|_{W^{1,p}(\Omega)}$.
Remark
上文已经说过，$P(f)$经过零延拓后也是$W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})$中的元素。
Remark
$P$的线性性来源于单位分解的构造$\sum_{i=1}^{n}\rho_{i}f$. 因此线性性是显然的。
Remark
对于不光滑的有界区域（如矩形区域）也可以做延拓，思想是完全一致的。实际上光滑的条件可以减弱到Lipschitz连续，具体内容可以参考Evans的$\textit{Measure Theory And Fine Properties of Functions}$.

延拓定理可以强化泛函分析2 Theorem2的结论。它告诉我们只要$\Omega$的性质足够好，就可以用光滑函数逼近整个区域上的函数。

Corollary
设$\Omega$是有界光滑区域，设$u\in W^{1,p}(\Omega)$, 则$\exists u_{k}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \|u_{k}-u\|_{W^{1,p}(\Omega)}\to 0$.
Proof.
令$v = P(u)\in W_{0}^{1,p}(B_{R})\Rightarrow\exists v_{k}\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\ s.t.\ \|v_{k}-v\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^{n})}\to 0,\ k\to+\infty$. 那么$\|v_{k}-v\|_{W^{1,p}(\Omega)} = \|v_{k}-u\|_{W^{1,p}(\Omega)}\to 0,\ k\to+\infty$.